人工智能刚刚通过撰写史上最长的证明解决了一个350年的数学难题

Anthropic表示，其Claude AI刚刚撰写了有史以来最长的数学证明，并用它正式证明了费马最后定理，这一问题困扰了数学家358年。

Claude在11天内完成了这一任务，主要是独立完成，生成了1300万行代码，计算机可以逐行检查，而不仅仅是依赖数学家的口头承诺。

费马最后定理表明，不能取三个正整数，将每个数的幂次提高到2以上，并使前两个数相加等于第三个数。他在1637年把这个声明写在一本数学书的边缘，并补充说他有一个“真正奇妙的证明”，但边缘太小，无法容纳。

然后他去世了。数学家们在接下来的358年里试图重建他认为自己拥有的证明。

证明某事和检查某事是两项不同的工作

数学证明是一系列逻辑步骤，如果其中一个环节断裂，整个证明就会崩溃。找到那一个断裂的环节，埋藏在百页密集的论证中，可能需要其他数学家花费数年的时间。

形式化证明意味着将其翻译成一种极其字面化的语言，以便计算机可以独立验证每一步，而不涉及主观性。

数学家们在这方面一直表现不佳。1908年，德国提供了一项价值约100万到200万美元的奖金，奖励第一个有效的定理证明，第一年就收到了621份错误的提交。

真正的证明直到1995年才出现，来自英国数学家安德鲁·怀尔斯，并且伴随着一个情节反转。怀尔斯在1993年6月的三次讲座中宣布了他的解决方案，结果后来有审稿人发现了其中的漏洞。

他与前学生理查德·泰勒花了近一年时间修复这个漏洞，几乎放弃，最终在1995年5月发布了一份修正后的129页证明。它依赖于费马生前不存在的数学，这也是数学家们现在怀疑费马的“奇妙证明”是否真的有效的一个重要原因。

伦敦帝国学院的数学家凯文·巴扎德在2024年启动了一个项目，正是为了做Claude刚刚完成的事情：将怀尔斯的证明翻译成Lean，这是一种计算机可以检查的语言。这是一项需要一支志愿数学家团队的工作——该项目的提纲长达86页，资金已锁定至2029年。

Claude在11天内完成了整个过程。

Claude是如何做到的

Anthropic在一篇更深入的文章中解释说，天逸·彭（Tianyi Peng）与哥伦比亚大学的团队一起构建AI形式化工具，决定看看Claude能独立完成多远。数十个Claude代理并行工作，撰写定义，证明小结果，并将这些结果堆叠成更大的结果，几乎没有人类输入，除了偶尔的提示，比如“下一个优先考虑这个定理”。

起初并不顺利。早期，代理们不断失去对已证明内容的跟踪，停止合作，这些错误的开始仍占据最终证明中约7%的行数。

解决这个问题的是一个名为Prove2Me的工具，也是彭的团队开发的，它为每个代理提供了相同的实时待办事项列表，列出哪些小证明仍需完成，以便没有人重复工作或偏离方向。它还组织文件，以便Lean可以更快地检查所有内容，并在每个结果上保持简单明了的笔记，以便代理可以重用彼此的工作，而不是重新发明轮子。

到完成时，Claude已经证明了超过30,000个支持性定理，并消耗了数十亿个令牌，运行在Anthropic称之为大致相当于Claude Fable 5.1的研究模型上，这是后来发布给公众的版本。最终的证明长达1300万行——是数学家们已经用于这类工作的共享库Mathlib的五倍多。

一本典型的小说大约有80,000个单词。Claude的证明相当于160本纯逻辑论证的小说。

那么这真的重要吗？

巴扎德——他自己的这个项目的资金也锁定至2029年——审查了Claude的证明，并给予了认可，称其证明了定理“没有其他假设，除了数学公理”。

这并不意味着Claude发现了全新的数学，Anthropic在今年早些时候的密码学研究中也声称过。怀尔斯三十年前就已经证明了费马定理——Claude只是为其建立了一个机器可检查的收据。这很重要，因为数学家们越来越多地被未经验证的证明淹没，包括AI撰写的证明，速度快于人类手动检查的速度。

此外，这些类型的证明是确定性的，不容易出现人为错误，这在数学中非常重要。

这并不是一个新问题。基于计算机的凯普勒猜想证明花了四年时间，审查小组才仅仅承诺“99%确定”，而格里戈里·佩雷尔曼的庞加莱猜想证明也花了差不多同样的时间才能完全被接受。

如果你不想仅仅依赖Anthropic的说法，你完全可以。完整的1300万行证明现在就放在GitHub上，任何有足够空闲时间的数学家都可以逐行挑剔。

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